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Teoria de los conjuntos fisicos y matematicos.

De ferman: Fernando Mancebo Rodriguez

Se pueden ver la mayor parte de mis trabajos en las siguientes paginas:

Pagina personal.

FISICA:
Experimentos de la doble rendija y de la camara oscura
Modelo de Cosmos.||| Modelo atomico ||| Velocidad de desarrollo de las fuerzas.
Imanes, Polaridad magnetica N-S. ||| Prueba de inversion en la emision de particulas
Caos Estatico y Dinamico||| Tabla de medidas atomicas
Principales fundamentos en la Estructura del Cosmos.
Las cargas electricas positivas residen en las orbitas atomicas.
MATEMATICAS:
Coordenadas radiales. ||| Teoria de los conjuntos fisicos y matematicos.
Producto algebraico de conjuntos. ||| Conceptos y numeros ||| Principio de Ubicuidad.
Angulos planares: Trimetria. ||| Principio de equivalencia y propiedad conmutiva de la division.
Dimensiones matematicas ||| Coeficiente de curvatura ||| Regla de prioridad en potencias y raices
Formula directa de Pi: El Pi cuadrante ||| La notacion "de"
VARIOS:
Moleculas esfericas: Benceno ||| Herencia Genetica. ||| Cerebro y Conciencia. ||| Tipos de genes T y D.||| Metafisica ||| Principio de Certidumbre ||| Del gato de Schrodinger a los pajaros de Ferman.
El mundo onirico. ||| Satira sobre el Hominidus Cuanticus.
INVENCIONES:
Teja Andaluza . ||| Motor rotatorio. ||| Motor de vaporizacion.
Modelos triangulares y piramidales de casas ||| El bosque cebreado
ARTICULOS:
Triangulo de la busura: Mecanica cuantica, Relatividad y teoria Estandar.
Los cuentos y fabulas de los relojes relativistas
||| Nucleo de las galaxias ||| Hidrocarburos, agua y vida sobre la tierra. ||| Formula del Cosmos.
Contra el insomnio .||| Cuerda-velocidad de las galaxias.

E-mail---Ferman@ ----- Pages in English.

FernandoM@

Caracteristicas de los Conjuntos: Clases, tipos y operaciones
(1-Mayo-2007, ferman.)

Este estudio, procedente de mi obra de metafisica de 1995, desearia establecerlo como sistema y estudio de las caracteristicas de los conjuntos fisicos y matematicos.
Esta teoria no pretende sustituir ni competir con la actual, sino introducir nuevos conceptos, ambitos de aplicacion y operaciones matematicas.

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Los conjuntos son agrupaciones de elementos, cuestion esta que le da su caracter y como veremos sus propiedades y sobre todo su funcionalidad, razon por la cual solo contemplaremos un resumen de los conjuntos vacios.
La clase y tipo de conjuntos puede ser de muy distinta indole y naturaleza pero nosotros los vamos a contemplar de forma que satisfagan a nuestros propositos de estudio en la forma siguiente, atendiendo principalmente a sus elementos constitutivos:

-- CLASE o denominacion
-- ANALOGIA o semejanza entre los elementos
-- TIPOS DE CONVERGENCIA
-- CARACTERISTICAS RESULTANTES.

CLASES

Esta teoria entiende que:

"Clase es la denominacion y expresion linguistica de un conjunto dependiendo de las peculiaridades y caracteristicas de sus elementos asi como de las exigencias y requerimientos que les pidamos a estos elementos para integrarse en el conjunto".

La clase de conjunto depende por tanto de los elementos que los constituyan y de las exigencias especificas para formar dicho conjunto.
Asi tendremos un conjunto de letras, numerico, de notas musicales, de flores, de libros, etc.
Pero tambien se puede exigir a los elementos caracteristicas y requerimientos especiales para formar el conjunto, como por ejemplo:
Conjunto de flores amarillas; conjunto de manzanas maduras y con gusano; conjunto de hombre calvos y con bigote; conjunto de arboles de hojas dentadas, etc.
Todas estas clases de conjuntos como vemos estan definidas por su nombre y expresion linguistica.
Como la denominacion y diversidad de clases de elementos que pueden constituir un conjunto es casi ilimitado y muy diverso, y las exigencias y requerimientos para formar conjunto tambien, pues resulta que solo ateniendonos a su clase puede resultar poco adecuado el estudio de los conjuntos de una forma estructurada y organizada.
Por ejemplo, si observamos una manzana, a esta podemos incluirla en muchos conjuntos diferentes como pueden ser: Un conjunto de manzanas, un conjunto de frutas, un conjunto de vegetales, un conjunto de cosas, etc. Un conjunto de manzanas verdes, maduras, grandes, medianas, chicas, etc.
Todos ellos pueden contener a nuestra manzana, pero son conjuntos muy diferentes unos de otros.
Asi que habria que buscar otros parametros para estudiar los tipos de elementos de un conjunto, aparte de su clase definido por su nombre.
Para ello buscamos otras caracteristicas como las expuestas anteriormente.

ANALOGIA : Segun las caracteristicas de los elementos componentes

En lo referente a la ANALOGIA o semejanza de los elementos o componentes de un conjunto, estos pueden ser: IGUALES, HOMOGENEOS O HETEROGENEOS.

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Son IGUALES, como su nombre indica cuando todos ellos tienen la misma forma, estructura, clase, etc. es decir, son iguales todos sus elementos.

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Son conjunto HOMOGENEOS, cuando sin ser iguales sus elementos, pertenecen a un mismo tipo o generos.

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Son HETEROGENEOS, cuando sus elementos son totalmente diferentes.

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TIPO: Tipo de inter-relacion entre los elementos componentes

Como vemos mas adelante, la consideracion de los tipos de conjuntos pueden ser muy adecuada para una comprension general de los mismos, mientras que las caracteristicas analogicas o de semejanza de los conjuntos seran mas utilizadas para un estudio profundo, matematico y operativo de los conjuntos.

En cuanto al TIPO de conjuntos lo dividiremos en:

---- DIFUSOS,
---- Conjuntos EN RELACION y
---- Conjuntos DE FUSION.

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Seran CONJUNTOS DIFUSOS cuando sus elementos a pesar de estar unidos formando conjunto, no tienen ningun tipo de relacion o compenetracion entre ellos.
Serán CONJUNTOS DE RELACION cuando los elementos o sub-conjuntos que los forman estan unidos entre ellos bajo cualquier tipo de relacion o coordinacion.
Seran conjuntos DE FUSION, cuando sus elementos se unen entre si formando con esta union unos elementos nuevos y normalmente con distintas propiedades de la de sus componentes.
En los conjuntos de Relacion y/o Fusion es muy interesante saber cual es el tipo de relacion que les une pues esta puede darles las propiedades determinantes de conjunto.
Asi que no basta con decir que es un conjunto de relación o fusion sino que lo importante en definir en todo momento la clase de relacion que los une, de tal modo que pierde en general su propia definicion de conjunto para adquirir el nombre de la relacion y sobre todo el de cuerpo resultante de este conjunto.

Ejemplos: Con nombre de cuerpos:
Cerebro, y no conjunto de neuronas en relacion.
Mente, y no conjuntos de elementos senso-inteligentes
Automovil, y no conjunto de piezas mecanicas.

Con tipos de relacion:
Sucesion matematica, y no conjuntos de numeros relacionados etc.

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Pero como hemos dicho en los conjuntos podemos observar la cualidad o caracteristica de la resultante, la cual sera el caracter y propiedades que el conjunto toma por la razon de la conjuncion de sus elementos.
En el caso del automovil la resultante del ensamblaje coordinado de todas las piezas del mismo es un compuesto con unas propiedades que todos conocemos.
Al igual un animal es un conjunto de fusion formando por elementos de tipo bioquimico con unas caracteristicas resultantes bastante creativas y espectaculares.

---- Conjuntos DIFUSOS

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La cohesion y relacion de los elementos de un conjunto puede indicarnos las distintas categorias en que podemos dividirlos o nombrarlos para su estudio.
En este sentido, seran conjuntos DIFUSOS aquellos cuya cohesion o relacion entre los elementos sea minima y no pueda ser considerara como una propiedad adquirida del conjunto.
Como ejemplos de conjuntos Difusos tendriamos a una acumulacion o monton de piedras, ladrillos, tornillos, golas, etc.; a una cesta de manzanas, peras, etc.; a Cualquier conjunto de numero, letras, etc. que no guarden ninguna relacion operativa ni linguistica entre ellos. Etc.

---- Conjuntos EN RELACION

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En el caso de estos conjuntos, la relacion y cohesion entre ellos es mucho mayor que en la de los conjuntos Difusos.
Los elementos de un conjunto en RELACION siguen ciertas normas de cohesion e interrelacion entre ellos con lo cual el grupo o conjunto adquiere ciertas caracteristicas resultantes que dan consistencia y definicion al conjunto.
Con objeto de distinguir entre conjuntos de fusion y conjuntos en relacion (que tiene cierta dificultad) nosotros podrian considerar que:
"En los conjuntos de relacion los elementos pueden ser distinguidos claramente, mientras que en los conjuntos de fusion sus elementos no pueden ser distinguidos normalmente y solo de aprecia el conjunto o cuerpo resultante de dicha union".
Ejemplos de conjuntos en relacion pueden ser:
Una sucesion matematica (1,2,3,4,5....) cuyos elementos o numeros estan interrelacionados entre ellos por medio de una logica composicion o leyes y ordenamientos matematicos. En definitiva por medio de una estructuracion inteligente y operativa.
Otros ejemplo son: Cualquier operacion matematica 12 x 12 = 144; un botellero con sus botellas ordenadas; un armario con sus trajes bien puestos; una desfile militar; etc.
Pero ademas podemos considerar como conjuntos en Relacion a muchos conjuntos de Fusion en los cuales solo deseamos observarlos de una forma particular y subjetiva sin atenernos a su completa consideracion.
Por ejemplo, si observamos un arbol del que solo deseamos estudiar sus componentes visibles tales como tronco, ramas y hojas.

---- Conjuntos DE FUSION.

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En los conjuntos de FUSION sus elementos no pueden ser observados normalmente.
En este tipo de conjuntos, sus bien estructurados, cohesionados y refundidos elementos estan tan bien organizados que sus caracteristicas y propiedades particulares quedan ocultas o difuminadas, adquiriendo en cambio nuevas propiedades y caracteristicas como conjunto.
Por tanto en este tipo de conjuntos de Fusion, sus particularidades hacen que estos conjuntos adquieren su propio nombre segun las caracteristicas adquiridas.
Por ello, estas particularidades como conjunto hacen que podamos denominarlos como Cuerpos fisicos, o matematicos segun el caso.
Como ejemplos de conjuntos de Fusion podriamos poner a la mayoria de los cuerpos fisicos de la naturaleza, en los cuales no se ven claramente reflejados sus elementos constituyentes sino sus cuerpos fisicos resultantes.
Asi tendriamos como ejemplos a un arbol, un animal, un huevo, un automovil, el mar, el sol, etc. etc.

Asi pues, y resumiendo, de la observacion y estudio de los conjuntos de elementos nosotros podemos agruparlos y definirlos segun el siguiente cuadro general:

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Caracteristicas Resultantes

Logicamente cada conjunto por el hecho de contener distintos elementos y con distinta cohesion y relacion entre ellos, pues nos da unas caracteristicas y propiedades particulares.
Y precisamente estas caracteristicas y propiedades son las que dan valoracion y distincion al conjunto.
En este caso si nos fijamos detenidamente, vemos que a mayor indice de cohesion y compenetracion entre sus elementos, mayor seria su indice de distincion, especializacion y valoracion como conjunto de elementos.
Asi pues, por norma general todo conjunto de fusion tendra un estatus y distincion propia mayor que un simple conjunto difuso en el que sus elementos no contribuyen a ningun tipo de construccion interior que pueda proporcionarles esta distincion y caracterizacion propia.
En si la denominacion de los conjuntos de fusion como cuerpos fisicos o matematicos con su propio nombre, nos define ya su importancia como conjuntos con una consistencia y valoracion espacial y particular.
Por tanto las caracteristicas resultantes de la union de elementos en conjuntos le da su consistencia, razon de ser y calidad como conjunto, asi como su propia definicion y estructuracion.

Indice de CONVERGENCIA

Un parametro transportable y comun entre conjuntos y sistemas caoticos es el parametro de convergencia entre los elementos que intervienen en ambos ambitos.
Ya vimos en el estudio de mi modelo cosmico, que el caos cambia, "se soluciona" o se puede medir mediante la convergencia entre los elementos que intervienen.
De igual manera, la convergencia es un parametro para medir el indice de cohesion entre los elementos de un conjunto.
Convergencia y cohesion son por tanto sinonimos.
Pues bien, hemos usado en esta teoria tres niveles de convergencia para los conjuntos (difuso, conjunto en relacion y conjunto de fusion), no obstante en posteriores estudios quizas veamos que tambien puede ser util fijarnos en un indice de convergencia traducido a porcentaje.
En el caso consideraremos el porcentaje ( % ) como indice de convergencia de los elementos de un conjunto. Si todos los elementos son convergentes entre ellos formando un cuerpo fisico real entonces diremos que el indice de convergencia es del 100 %, mientras que si no existe ninguna convergencia entre los elementos diremos que el indice de convergencia es del 0 %. En proxima revisiones quizas estudiemos la aplicacion matematica de estos porcentajes teniendo en cuenta el numero de elementos de los conjuntos y su convergencia porcentual.
Este indice de convergencia es interesante porque puede decirnos algunas peculiaridades de los conjuntos.
Por ejemplo, si observamos dos conjuntos con todos sus elementos iguales, puede que uno forme un conjunto difuso y el otro sea un conjunto de fusion.
Asi sera si observamos todas las piezas sueltas de un automovil formando un moton, y al tiempo observamos ya el coche montado y circulando por la calle.
En la primera observacion veriamos un conjunto difuso de piezas y en la segundo observacion veriamos a un perfecto conjunto de fusion.

Matematica pura y matematica de conjuntos.

En realidad la matematica pura es matematica de conjuntos puesto que su mision es la de considerar, ajustar y manipular unidades y conjuntos de valores para darnos soluciones numericas resultantes que siguen siendo soluciones de conjuntos aunque sean eminentemente numericos.
Por tanto lo que ocurre en la matematica pura es que nos abstraemos de la realidad fisica de los elementos para ajustar solo su valor numerico.
No obstante si al final no aplicasemos e hiciesemos una correspondencia entre valores matematicos y su aplicacion real sobre los elementos fisicos, pues no tendrian mucha razon de ser todos los teoremas y soluciones matematicas. Su practica en los elementos fisicos es lo que le da valor real.
Pues bien, es aqui donde comienza a tener valor y consistencia la matematica de conjuntos. Cuando se tienen en cuenta, para la resolucion y ajuste de operaciones en los conjuntos fisicos tanto, a la operatividad matematica como la consistencia y peculiaridades de estos conjuntos y sus elementos.
Por tanto en las matematicas de conjuntos hemos de ajustar sus valores pero ademas hemos de respetar sus formas de union, estructuracion, interrelacion, etc. para no destruir las peculiaridades propias de los conjuntos y hacer que los resultados matematicos sean fieles a los resultados estructurales de estos conjuntos.
Ahora bien, respetando y amoldandose a estar normas estructurales, las matematicas pueden llegar a todos y cada uno de los ajustes numericos de dichos conjuntos, con lo cual se ve que es necesaria una teoria matematica de conjuntos –que no tienen la actual- que abarque todas las operaciones matematicas tradicionales, pero adaptadas a la realidad fisica de los elementos.
Y esto es lo que pretender comenzar a desarrollar esta teoria fisica y matematica de conjuntos:
A estudiar, manejar y ajustar a los conjuntos fisicos de elementos, pero haciendo que las normas y operaciones matematicas sigan una linea de respeto y ajuste real y practico de todas las circunstancia de los conjuntos y sus elementos.
Por tanto a seguir matematicamente a los conjuntos en sus caracteres, uniones, interrelaciones, transformaciones, composiciones, etc., sin perder de vista ninguna de estas peculiaridades de los conjuntos.
En el mismo sentido, esta teoria estudia y teoriza sobre las diferentes circunstancias, transformaciones, interrelaciones, propiedades, etc., de los conjuntos con objeto de conseguir un completo estudio de los conjuntos de elementos.

Elementos particulares y elementos compartidos o de interseccion.

[*] Una cuestion muy importante en esta teoria y que difiera claramente de la actual, es que:
En principio todos los conjuntos tienen diferentes elementos aunque estos elementos puedan tener la misma apariencia.
Es decir, nos sujetamos a la fisica de los elementos y no a su simple apariencia.

Teoria actual de conjuntos.-

En este sentido entiendo que un error basico en la teoria actual es presuponer que solo existe un solo elemento de cada tipo en el Universo (un solo 1, un solo 2, una sola a, una sola b, una sola manzana, una sola pera, etc. etc.).
A diferencia mi teoria acepta que pueden existir infinitos elementos iguales en el Universo, (infinitos 1, infinitos 2, infinitas a, infinitas b, infinitas manzanas, infinitas peras, etc. etc.).
Por tanto establece como principio que todos los conjuntos tienen diferentes elementos (aunque parezcan iguales) a menos que se exprese claramente que existen elementos de interseccion en dichos conjuntos, es decir, elementos que pertenecen al mismo tiempo a un conjunto y a otro.

Ejemplos de ello seria:
--Que con su premisa la teoria actual nos diria que si tenemos una caja A con 1700 euros y otra caja B tambien con 1700, si las unimos, el nuevo conjunto AuB seguiria teniendo 1700 euros, pues confunde la realidad fisica con la apariencia de los elementos.

A (1700 euros) unida a B (1700 euros) = AuB (1700 euros)

--Si tenemos una bolsa A con una pera y una manzana A (pera, manzana) y otra bolsa B con otra pera y otra manzana B (pera, manzana) su union nos daria un conjunto AuB con solo una pera y una manzana.

A(pera, manzana) u B( pera, manzana) = AuB (pera, manzana)

Como vemos la teoria actual no es operativa.

Mi teoria nos dara que:

A + B (pera, pera, manzana, manzana) o A + B (2pera, 2manzana)

Asi que mi teoria propone pequeños cambios de principios para conseguir operar adecuadamente con los conjuntos como vemos mas adelante.

Por ejemplo:
Dados dos conjuntos A (a,b,c,d,e,) y B (a,d,h,j,k) nosotros podemos observar como hay elementos que parecen iguales (a,d,) pero que no son el mismo fisicamente, sino otros semejantes.
Asi pues la suma o union de estos dos conjuntos A y B seria:
AuB (a,b,c,d,e,a,d,h,j,k)
--No obstante, si algun elemento es un elementos de interseccion o sea, que pertenece a los dos conjuntos a la vez, entonces fisicamente es el mismo elemento y en este caso habria que expresarlo y exponerlo para que no pueda ser utilizado como dos elementos distintos en las operaciones.
Para expresarlo basta con subrayar dichos elementos (a,b,c,d )
(p.e. Sean dos conjuntos de interseccion A (a,c,d,h,k,1,2) y B (a,c,d,h,l,j,1,2,) donde los elementos (c,d) son los mismos elementos que pertenecen a los dos conjuntos.
En este caso la union o suma de A y B sería AuB (a,c,d,h,k,1,2,a,h,l,j,1,2).

** Este tipo de consideracion es tomado para que sea posible un adecuado y real metodo en las operaciones con conjuntos.

Comparacion de Conjuntos

Cuando acercamos y comparamos dos o mas conjuntos, podemos observar distintos grados de semejanza entre ellos.
Estos grados de semejanza podemos identificarlos mediante el uso de distintos niveles de similitud a los cuales podriamos calificar como:

---- IDENTICOS
---- IGUALES
---- HOMOGENEOS
---- HETEROGENEOS
---- CONVERGENTES

---- IDENTICOS

Serian conjuntos identicos entre ellos, aquellos que cumplieran dos exigencias:
1.- Tener los mismos elementos.
"Sean dos conjuntos A y B, en los cuales todo elemento de A tiene otro identico en B y todo elemento de B tiene otro identico en A".
2.- Tener la misma convergencia, es decir, que la cohesion, ordenacion y cualquier norma de agrupamiento se da en ambos conjuntos al mismo nivel.
Por tanto han de ser dos conjuntos indistinguibles uno del otro.

Para representar dos conjuntos identicos podemos usar el signo ><

Asi, A >< B nos dice que el conjunto A es identico al conjunto B y veceversa.

Como ejemplos podemos poner:
-Un conjunto en relacion como podria ser una caja A de botellas de wisky y junto a ella otro B en iguales condiciones y marca.
-O un conjunto de fusion como podria ser una automovil recien salido de fabrica, y junto a el otro de igual modelo y caracteristicas.

Llegados a este punto, podriamos establecer un concepto de cierta importancia en los conjuntos cual seria su IDENTIDAD.

La IDENTIDAD seria segun hemos visto la totalidad de caracteristicas y particularidades de un conjunto, incluidos sus elementos, convergencia, etc., es decir todo aquello que lo hacen especifico y diferente de otros.

---- IGUALES

En los conjuntos iguales entre ellos basta con tener los mismos elementos. Por tanto de cumplir solo la norma o exigencia primera de los conjuntos identicos, a saber:
"Sean dos conjuntos A y B, en los cuales todo elemento de A tiene otro identico en B y todo elemento de B tiene otro identico en A".
En este caso por tanto, los conjuntos comparados se pueden distinguir por el modo de agruparse u ordenarse los elementos, pero no por los elementos en si que seran los mismos en unos grupos que en otros.

Como ejemplo podemos poner:
-El ejemplo de la caja de botellas de wisky, comparar la caja A de botellas con otra caja B con las botellas ya sacadas y desordenadas.
-O la comparacion de dos sucesiones numericas (1, 2, 3, 4, 5) y (5, 4, 3, 2, 1).

---- HOMOGENEOS

Seran conjuntos homogeneos entre ellos con solo que sus elementos pertenezcan a un mismo genero, tipo, caracter, etc.
Por tanto aqui no es necesario que sean ni siquiera iguales, ni que se cumpla la premisa A de los conjuntos identicos.
Solo que contengan un caracter semejante que les identifique dentro de un mismo genero de elementos.

En este caso podriamos poner como ejemplos:
-Un conjunto formado por algunos numeros (3, 5, 8, 9) junto a otros de numeros no iguales ( 3, 6, 9 )
-O un cesto de huevos de gallina, junto a un cesto de huevos de pato. Serian homogeneos con relacion al caracter o termino “huevo”.

---- HETEROGENEOS

Seran heterogeneos comparativamente los conjuntos cuyos elementos no guarden ningun tipo de semejanza fisica ni organizativa que pudiera hacerlos semejantes en cualquier modalidad.
Cuando se comparan conjuntos heterogeneos con otros que no sean (identico- heterogeneo; igual-heterogeneo; homogeneo-heterogeneo) la comparacion tambien resulta ser heterogenea.

En este caso extremo podriamos poner como ejemplo:
A un conjunto formado por una gallina, una maceta y un mechero, comparandolo con otro conjunto formado por un lapiz, un sombrero y una maleta.
En el sentido, podemos poner como ejemplo a la comparacion de la caja de wisky pero en este caso con un conjunto formado por una naranja, una piedra y un cenicero. El resultado sera una comparacion heterogenea.

---- CONVERGENTES

Seran conjuntos convergentes, aquellos que sin ser identicos por tener diferentes elementos constitutivos, si guardan el mismo ordenamiento y organizacion.

Como ejemplo de ello, podemos poner como conjunto A un desfile de soldados circulando por una avenida, y como conjunto B una escuadrilla de aviones sobrevolandolos en el mismo sentido y con la misma finalidad.

Operaciones con Conjuntos

En las operaciones de conjuntos, este estudio difiere en varios puntos de lo aceptado actualmente por entender que no se corresponde con la realidad, que existen contradicciones, que no son aceptables desde un punto de vista logico o que no son operativos en conjuntos reales.
Si esta de acuerdo y no se revisaran las consideraciones actuales de intercepcion de conjuntos, conjuntos complementarios, etc.
Por lo tanto, aqui vemos las operaciones tal cual la entiende esta teoría de conjuntos.

SUMA DE CONJUNTOS

Dos o mas conjuntos pueden sumarse mediante la reunion de todos sus elementos en un solo conjunto, con las dos condiciones siguientes:

1.- Como hemos visto, la primera condicion de la suma es que en el nuevo superconjunto formado estaran todos los elementos de los conjuntos constituyentes.
*** Los elementos comunes debido a las interseeciones de dos o mas conjuntos de la suma se atendera a su realidad fisica y solo se sumaran una vez.

2.- La segunda condicion es que tambien sean conservadas en la suma o superconjunto resultante las peculiaridades de convergencia o identidad que cada uno de los conjuntos sumandos tuviera.

En este caso y cuando que sea posible y exista la misma convergencia o identidad entre los conjuntos sumados, se podran unificar todos los elementos reunidos y ordenados mediante dicha convergencia. (p.e. Sea un conjunto A o sucesion (6,7,8,9) y conjunto B o sucesion (1,2,3,4,5,) estos se pueden sumar formando una sola sucesion A + B (1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Ejemplo para la comprension de estas dos condiciones de la suma:
---- Si tenemos un conjunto A formado por varios numeros sin ordenar ( 6 7 3 1 4 7 ) y lo sumamos a un conjunto B formado tambien por numero sin ordenar ( 5 9 2 1 4 ) el superconjunto resultante contendra todos y cada uno de los elementos o numero antes mencionados, tambien sin ordenar. p. e. A+B( 7 7 1 3 2 9 1 4 4 5 6 )** o cualquier otro que contenga todos los elementos de los sumandos.
** Aqui vemos que existen dos 7, dos 1 y dos 4 en el cojunto suma A + B porque se entiende que no son elementos compartidos o de intercepcion entre los conjuntos A y B, sino numeros propios de cada uno.
---- Si tenemos un conjunto A ( 23-14=9 ) constituido por los elementos de una operacion matematica y los sumamos a un conjunto B ( 33x2=66 ) tambien formado por una operacion matematica, el superconjunto resultante A + B (23-14=9 33x2=66 ) tendra que contener todos los elementos de los dos conjuntos y al mismo tiempo conservar su identidad o convergencia.
---- Si sumamos un conjunto A ( caja botellas wisky ) a un conjunto B ( tres naranjas sueltas ), en el superconjunto suma A + B la caja de wisky quedara intacta y las naranjas podran colocarse en cualquier posicion dentro de este superconjunto puesto que antes tampoco tenian ninguna ordenacion.
No obstante si las naranjas estaban ordenadas dentro de una bolsa, tambien quedaran ordenas en su bolsa en el nuevo superconjunto.

RESTA DE CONJUNTOS

Principio de la resta:

“A todo conjunto A, podemos restarle o extraerle uno o varios subconjuntos (B,C,D) o elementos (a,b,c) del mismo .
O todos sus elementos convirtiendose en este caso en conjunto vacio”.

Por tanto aqui hay que establecer claramente la distincion entre los subconjuntos (B,C,D,E,F, etc.) todos ellos pertenecientes al conjunto principal A del cual se restan, de otros conjuntos diferentes B,C,D etc. que no pertenezcan al conjunto A y que por tanto no pueden ser restados.
"No se pueden restar los elementos que tiene otro conjunto, sino los propios del conjunto que se somete a la resta"
Seria pues la siguiente expresion:

A -- B donde B seria siempre un subconjunto perteneciente a A.

Y cuando haya varios subconjuntos a restar podemos poner:

A -- ( B + C + D + E ...)

Por tanto el principio de las resta debe cumplirse de tal forma que el conjunto A tenga como componentes a los subconjuntos a restar B, C, D, E.
Y lo expresaremos asi:

A (B, C, D, E ) Conjunto A contiene a los subconjuntos (B, C, D, E ) que pueden ser restados.

Para que la resta sea pura y no represente una composicion, se deben respetar tambien la exigencia de la conservacion de la convergencia en los conjuntos resultantes de esta resta.

(p.e. Si tenemos un conjunto A (compuesto por dos peras y tres manzanas) podemos restarle el subconjunto B (formado por las dos peras).
Pero no podemos restarle dos peras pertenecientes a otro conjunto B.

A (2 peras y 3 manzanas) -- B ( 2 peras) = A -- B (3 manzanas)

--Si tenemos un conjunto A (2,4,6,8,0) podemos restarle su B (8,0) y quedara un conjunto A -- B (2,4,6).

A (2,4,6,8,0) -- B (8,0) = A -- B (2,4,6)

De esta forma, cualquier resta tienen que cumplir la propiedad de total interseccion entre todos los elementos de sus parametros, es decir:

minuendo = sustraendo + diferencia, donde

---Todo elemento del sustraendo y diferencia estaban en el minuendo.
---Todos los elementos del minuendo estaran en el sustraendo O diferencia.
---Ningun elemento del sustraendo esta en la diferencia.
---Ningun elemento de la diferencia esta en el sustraendo.

A (2,4,6,8,0) -- B (8,0) = A -- B (2,4,6)

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PRODUCTO DE UN COJUNTO POR UN NUMERO O FUNCION NUMERICA

El producto de un conjunto por un numero o funcion numerica consistira en otro conjunto formado por el producto de cada uno de los elementos del conjunto primario (o multiplicando) por el numero o funcion multiplicadora.
(p.e. Sea un conjunto A (a,b,c,d,) que es multiplicado por el numero 3. El conjunto real resultante 3xA sera (a,a,a,b,b,b,c,c,c,d,d,d,). No obstante esta permitido, tanto para numero como para funciones, representarlo en forma de sintesis matematica del producto y ponerlo extractado en la forma (3a,3b,3c,3d).
De igual manera que para la suma, para el producto de un conjunto por un numero, es necesario que se mantenga la identidad o convergencia en el resultado.
(p.e. Sea el conjunto A (a,b,c,coco,%) al cual lo multiplicamos por el numero 2. El resultado real seria 2xA (a,a,b,b,c,c,coco,coco,%%) o su representacion matematica (2a,2b,2c,2coco,2%).
Cuando es una funcion matematica y mientras no tengamos el resultado de dicha funcion, el conjunto resultante habra que expresarlo unicamente en representacion matematica. Despues cuando tengamos el resultado de la funcion, pues podemos hacer ya una representacion real del conjunto resultante.
(p.e. Sea un conjunto A (a,b,c,coco) multiplicado por una funcion y=2x. En este caso tendriamos que representar matematicamente al conjunto resultante como Axy (ya,yb,yc,ycoco) o como Ax2x (2xa,2xb,2xc,2xcoco), pero no podremos exponer todos su elementos reales hasta que no conozcamos la solucion de la funcion.
En el caso de la multiplicacion de conjuntos por numeros o funciones, y cuando sea posible, es recomendable seguir las normas de identidad o convergencia que tenia el conjunto multiplicado, del tal modo que podamos estructurar en una solo conjunto organizado todos sus elementos.
(p.e. Sea un conjunto A formado por 12 malecones colocados ordenadamente en su sitio al borde de una carretera. Si multiplicamos este conjunto por el numero 3, nos daria un conjunto 3xA formado por 36 malecones situados ordenadamente al bode de la carretera.)

Las operaciones con conjuntos pueden ser muy utiles y usadas en la practica.
Como ejemplo de estas operaciones podriamos poner el siguiente:
Si en la milicia por ejemplo queremos formar un batallon para llevar a cabo una mision especifica y deseamos que conste de seis companias perfectamente equipadas para la mision a emprender, pues procederiamos a escoger y estudiar una compania tipo segun la necesidades, y seguidamente adiestrar o prepararlas para despues unirlas y formar el batallon.
En este caso podriamos ponerlo como un producto de un conjunto tipo A (compania) multiplicarlo por un numero (6) y sumarle otro conjunto de mandos B (coronel, 2 comandantes).
Nos quedaria pues:

A (compania) x 6 + B (coronel, 2comandantes) = batallon C (coronel, 2comandantes, 6 companias).

Tambien podemos desglosarlo mas incluyendo, saldados, mandos intermedios, etc. Incluso armamento y utensilios si queremos incluirlos.
Todo ello mediante estos procedimientos de sumas y productos, es decir, utilizando medios matematicos normales, pero por medio de agrupaciones de sus elementos en conjuntos en los cuales podemos conservar sus caracteristicas y peculiaridades asociativas.

Producto de conjuntos de elementos.

Producto algebraico de conjuntos

p>Esta teoria de conjuntos fisicos y matematicos entiende que si queremos considerar los productos de conjuntos de elementos entre si debemos acercarnos los mas posible a los principios y propiedades de la multiplicacion de numeros, y al mismo tiempo al respeto a las propiedades de los elementos de cada conjunto.
Por ello comenzare con alguna definicion y exposicion de los principales parametros estructurales del producto algebraico entre conjuntos.

El producto algebraico de conjuntos consiste en multiplicacion de los mismos siguiendo los metodos algebraicos comunes.

Al estar los conjuntos formados por elementos de cualquier tipo y entidad, nosotros consideraremos dos tipos de componentes de los factores a multiplicar:

-- Los elementos propiamente dichos, que como hemos dicho pueden ser de cualquier tipo y entidad.
(Por ejemplo: un lapiz, un arbol, un animal, un signo, un simbolo, una idea, un sentimiento, etc.)

-- Y los coeficientes multiplicadores o cantidad de estos elementos anteriores que pueda contener cada uno de los factores a multiplicar.
(Por ejemplo: 25 conejos; siendo 25 el coeficiente multiplicador de los elementos del conjunto o conejos)

Pues bien, como veremos mas adelante en el producto algebraico de conjuntos los coeficientes o cantidades se multiplican entre ellos y los elementos se integran (fusionan) entre si.

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Pero comencemos por revisar la forma algebraica de los productos de conjuntos. Asi si tomamos dos conjuntos de incognitas A( a, b) y B (x, y) y queremos multiplicarlos debemos hacerlo como si de numeros se tratara:

A x B = (a, b) x (x, y) = AB (ya, yb, xa, xb)

Y despues a este resultado podemos a su vez multiplicarlo por otro conjunto C ( d, e )

AB (ya, yb, xa, xb) x C (d, e) = ABC (eya, eyb, exa, exb, dya, dyb, dxa, dxb)

Como vemos el producto de conjuntos de elementos lleva consigo la INTEGRACION de los factores multiplicadores de cada acto operativo en un solo elemento que llamaremos FACTOR INTEGRADO.
En el ejemplo anterior, cuando multiplicamos y . a el factor integrado sera el resultado yx.

Ahora bien, cualquiera de estas incognitas puede ser sustituida por un numero o por un elemento.
Si es por un numero, las operaciones son las ya conocidas en matematicas:

A x B = (6, 4) x (3, 2) = AB (2x6, 2x4, 3x6, 3x4, = AB (12, 8, 18, 12)

Pero si son elementos fisicos los factores de la multiplicacion, entonces los elementos resultantes de la INTEGRACION de cada acto operativo estaran formados por la union fisica de los elementos en un solo elemento compuesto o factor integrado.
Por ejemplo:

A x B = (@, &) x (#, %) = AB (%@, %&, #@, #&)

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Coeficientes y elementos

En la multiplicacion de conjuntos de elementos debemos distinguir entre los elementos propiamente dichos y los factores multiplicadores de estos elementos.
En un conjunto A ( 5 conejos, 4 botellas ) puede haber elementos fisicos que lo compongan (conejos y botellas) y coeficientes que expresen la cantidad de estos elementos ( 5 y 4 ).
Pues bien, los coeficientes siempre multiplican tanto a sus elementos como a los elementos del otro factor en cada acto operativo.
Por ejemplo:

A ( 5 conejos, 4 botellas ) y B ( 2 cajas, 3 estantes )

A x B = ( 5 conejos, 4 botellas ) x ( 2 cajas, 3 estantes ) = AB( 10 caja-conejo, 8 caja-botella, 15 estante-conejo, 12 estante-botella )

Lo cual quiere decir que habra:
-- 15 Factores integrados (o subconjuntos) formados por un conejo con estante.
-- 12 Factores integrados (o subconjuntos) formados por un estante con botella.
-- 10 Factores integrados (o subconjuntos) formados por un conejo en su caja.
-- 8 Factores integrados (o subconjuntos) formados por una caja con botella.

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Numero de sub-conjuntos resultantes.

Como vemos en los ejemplos, el numero de subconjuntos o factores integrados resultantes de una multiplicación de conjuntos de elementos es igual al producto del numero total de elementos de cada conjunto multiplicador.

A x B = ( 5 conejos, 4 botellas ) x ( 2 cajas, 3 estantes )

A x B = ( 5 + 4 = 9 ) x ( 2 + 3 = 5)

A x B = 5 x 9 = 45 subconjuntos o elementos compuestos.

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Elemento multiple: ( x e )

A veces necesitaremos tomar conjuntos de elementos y operar con el como si fuera uno solo con el fin de obtener un resultado mas apropiado para nosotros.
Por ejemplo, si queremos clavar cinco clavos en una madera, no podemos multiplicar la madera por los cinco claves como elementos separados, pues nos daría cinco madera con un clavo cada una.

A ( Madera ) x B ( 5 clavos ) = Madera x 5 calvos = 5 maderas-clavo

Por ello para convertimos los cinco clavos que son cinco elementos en un solo elementos de cinco clavos:

B ( (5 clavos) )

Y de esta manera multiplicamos el elemento madera por el elemento (5 clavos)

A (madera ) x B ( (5 clavos) ) = AB ( madera-5 clavos )

Veamos los dibujos.

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Con el segundo dibujo vemos que el producto de conjuntos puede darnos como resultado a conjuntos o subconjuntos de distinto Tipo, resultando a veces conjuntos Difusos en los cuales sus elementos no guarden ninguna relacion entre ellos, o como en este dibujo anterior, en el cual el conjunto resultante puede ser un conjunto en relacion, es decir, que sus elementos tengan convergencia entre ellos.

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Adicion o clonacion de elementos en la multiplicacion algebraica.

En las operaciones de suma, resta y division, los elementos resultantes de estas operaciones ya estaban en los factores primarios de dichas operaciones, pero en la multiplicacion algebraica se produce una adición de elementos que no estaban en estos factores operativos primarios.
Si lo elementos son comunes, (por ejemplo lapices, conejos, cuadrados, rosas, etc.) basta con buscar e introducir nuevos elementos para completar el producto resultante.
No obstante, si lo que deseamos es multiplicar a un elemento determinado, (p.e, 3 x Don Quijote = 3 Don Quijotes) entonces a los teoricos elementos introducidos le denominares como elementos Clonados.

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Interseccion de elementos entre factores y producto.

En el producto algebraico de conjuntos, al tener que introducir nuevos elementos del exterior para conseguir completar el producto de la multiplicacion, puede llevarnos en ciertos casos a necesitar saber cuales son los elementos que ya estaban en los factores a multiplicar y cuales son los que hemos introducido en el producto.
Para ello utilizamos el metodo de interseccion de esta teoria, es decir, subrayar los elementos que estan tanto en los factores como en el producto, tal cual vemos en el dibujo.

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Recordemos la interseccion de elementos en esta teoria:

Dados dos conjuntos A (a, b, c,) y B (c , d, e) llamamos elementos de interseccion a los que pertenecen a los dos conjuntos.
Los elementos de interseccion se expresan subrayandolos:
Sean dos conjuntos A (a, b, c,) y B (c , d, e) donde c es el elementos de interseccion que pertenece a ambos conjuntos.

Propiedad conmutativa en el producto algebraico de conjuntos.

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De momento consideraremos que el producto algebraico de conjuntos tiene la propiedad conmutativa y que tanto el orden de situacion de los elementos dentro del conjunto como el orden de los elementos dentro de los factores integrados siguen esta propiedad.

A (a,b,) = A'(b,a) ; ab = ba

Principio de Ubicuidad

Como he expuesto varias veces, esta teoria sobre los elementos fisicos trata de llevar las matematicas de conjuntos a la realidad de los elementos fisicos y por tanto las operaciones matematicas han de sujetarse a las caracteristicas de estos elementos.
Pues bien, una de estas caracteristicas es la que un elemento fisico no puede estar en dos lugares distintos a la vez.
Por tanto tomaremos esta definicion para el Principio de Ubicuidad:

"Ningun elemento fisico puede estar en dos o mas lugares al mismo tiempo."

Y de esta consecuencia podemos considerar los siguientes puntos:

1.-
Ningun elemento fisico puede estar repetido dentro de un mismo conjunto.
Si puede pertenecer a dos o mas conjuntos distintos.
Si estuviera representado dos o mas veces dentro de un conjunto debemos considerarlo como un solo elemento a la hora de operar con el.

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2.-
En el producto algebraico entre distintos conjuntos donde existe uno o mas elementos de interseccion, dichos elementos no podran operar sobre si mismos, y por tanto seran tenidos en cuenta solo una vez preferentemente en el primer factor o multiplicando.

A (a,b,c) x B (c,d,e) = A (a,b,c) x B (d,e)

Ello es consecuencia a que un elemento fisico no puede fusionarse con si mismo y por tanto no puede multiplicarse tampoco por si mismo.

En el caso del cuadrado (cubo...N) de un conjunto, el producto resultante sera el la fusion de sus elementos.

A (a,b,c,) x A (a,b,c) = A2 (abc)

3.-

A.- El principio de Ubicuidad no afecta a cantidades numericas puesto que no son elementos fisicos.

A ( 2, 5 ) x B ( 3, 5 ) = AxB ( 10, 25, 6, 15 )

B.- Si afecta a los coeficientes puesto que si eliminamos los elementos de un conjunto eliminamos tambien el coeficiente multiplicador.

A (2U, 3H ) x B (2U, 2K ) = A ( 2U, 3H ) x B ( 2K )

Pues debemos eliminar los elementos 2U del multiplicador. ( ver 2.- )

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Teoria y realidad operativa.

Es logico que todos los sistemas matematicos tengan comoultima finalidad su utilidad y uso practico, si no fuera asi las matemáticas apenas tendrian sentido.
Y en el caso de los conjuntos con mas razon todavia, puesto que entendemos que los elementos de los conjuntos tienen su consistencia y realidad fisica con la cual hay que contar para operar con ellos.
Pues bien, al vernos mediatizados por la realidad fisica de los elementos de los conjuntos, tenemos como consecuencia que muchas veces podremos realizar operaciones practicas con ellos pero otras veces nos tendremos que conformar con hacerlo solo teoricamente, pues los elementos de estos conjuntos no se dejaran manejar siempre a nuestro gusto.
Por ejemplo, si tenemos en una estanteria A varios grupos de botellas A (5 whisky, 3 vodka, 4 ginebra) nosotros podemos perfectamente multiplicar los elementos de esta estanteria por un numero determinado (p.e. 3) yendo al almacen y rellenado la estanteria hasta conseguir hacer realidad al producto de la multiplicacion, 3 x A (15 whisky, 9 vodka, 12 ginebra).
Pero si lo que deseamos es multiplicar el conjunto A (rios hispanos) por un numero (3) entonces no sera posible hacerlo y solo podemos teorizar y elucubrar con ello.
Sin embargo tambien las matematicas tienen esta ventaja, la de teorizar e inventarnos operaciones que nos sirvan para comprender las cosas, aunque no podamos llevarlas a la practica de los elementos.
Por supuesto, lo que si se le exige a las reglas matematicas es la consistencia, orden, congruencia, logica, y sobre todo concordancia y ausencia absoluta de contradicciones entre sus reglas y fundamentos.

DIVISION DE UN CONJUNTO POR UN NUMERO.

Un conjunto A puede dividirse por un numero x, (o funcion) dandonos diferentes resultados segun las exigencias que pongamos a dicha division.
No obstante aqui se observara dos tipos de divisiones solamente, que creo son las mas importantes, y que serian:

--DIVISION INDETERMINADA
--DIVISION DETERMINADA.

----DIVISION INDETERMINADA

Para llevar a cabo una division indeterminada de un conjunto A por un numero x, la unica exigencia es que el numero de elementos o subconjuntos de A sea multiplo de x.
(p.e. si tenemos un conjunto A (a,b,8,e,9,?,=,X,b), observamos que este conjunto A tiene 9 elementos.
Por tanto es posible dividirlo por ejemplo, por el numero 3. Y se podria representar como:

A (a,b,8,e,9,?,=,X,b) : 3

En este caso el resultado seria tres conjuntos nuevos B, C y D que tendrian cada uno tres elementos de A.
Pero la indeterminacion estaria en que habria muchas soluciones para cada unos de estos conjuntos cociente, puesto que solo se le exige que tengan 3 elementos, pero da igual cual sean estos. Por tanto habra muchas combinaciones.
Por ejemplo.
B (a,b,8) C (e,9,?) D (=,X,b)
B (b,b,a) C (8,e,X) D (=,9,?)
Etc.

----DIVISION DETERMINADA

En cambio para la division determinada habra muchas mas exigencias, pero dara resultados matematicos mas completos tambien.
En la division determinada se exige que en el conjunto A (que va ser dividido por un numero x), se puedan establecer subconjuntos de elementos identicos y cuyo numero cardinal en todos estos subconjuntos sea divisible por x.
(p.e. Sea un conjunto A (c,c,a,a,b,b,c,c,a,b,c,c,b,c,c,b,c,b) que podemos representar matematicamente como A (3a,6b,9c) y al cual deseamos dividirlo por 3.
En este caso A (3a,6b,9c) : 3 = B (a,2b,3c), C (a,2b,3c), D (a,2b,3c)
Aqui observamos una interesante solucion, y es que en las divisiones determinadas los cocientes son conjuntos identicos.

Division entre conjuntos de elementos

Esta resulta ser una bonita operacion y aunque los metodos y procedimientos de operar son los mismos, en este caso se dan particularidades muy interesantes.
La primera particularidad es que al ser una division de elementos de un conjunto entre los elementos de otro, pues la operacion adquiere caracter de REPARTO ya que existen unos elementos A (dividendo) a repartir y unos elementos B (divisor) que los reciben.
Este caracter de reparto nos da la segunda singularidad y es que en los conjuntos resultantes no solo estan los elementos A repartidos sino los elementos B entre los que se reparten.
Veamos un ejemplo para entenderlo mejor:

-----Sea un conjunto A formado por 12 zanahorias A (12 zanahorias) y un conjunto B formado por 3 conejos B (3 conejos).
Si procedemos a la division (reparto) de las zanahorias entre los conejos tendremos que a cada conejo le damos 4 zanahorias.
Por tanto en el cociente de esta division estaria cada conejo junto a sus cuatro zanahorias.

A (12 zanahorias) : B (3 conejos) = C ( conejo, 4 zanahorias ), D ( conejo, 4 zanahorias ), E ( conejo, 4 zanahorias )

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Por tanto, en las divisiones entre conjuntos, los conjuntos resultantes contienen tanto a los elementos del divisor como a los elementos del dividendo.

Como las divisiones entre elementos o conjuntos de elementos tienen caracter especial, pues quizas seria bueno proponer nombres propios para los parametros de estas divisiones.
Asi que en principio propondria los de Dividendo, Receptor y Reparto.
-- Receptor porque los elementos del divisor tienen caracter distintivo y facultad de recibir dividendos.
-- Reparto porque en estas divisiones el cociente tiene este caracter de reparto.

En las divisiones entre conjuntos tambien vamos a considerar solo los tipos:

INDETERMINADA y DETERMINADA

Como ya hemos explicado en las divisiones por numeros, como eran estos procedimientos, ahora solo vemos algunos ejemplos para entender como se procede entre conjuntos.

Ejemplo de INDETERMINADA:

Sea un conjunto A (4, 7, 9, 0, 0, $) dividido entre un conjunto B (a,b,c,).
Vemos que esta division solo puede ser indeterminada pues solo existe la posibilidad de dividir los SEIS elementos de A entre los TRES elementos de B.
Pero esto, como vimos en las divisiones por numeros, nos puede dar muchas soluciones.

A ( 4, 7, 9, 0, 0, $ ) : B ( a,b,c,) =

C ( a, 0,0 ), D ( b,4,7 ), E ( c,9,$ ) o
C ( a, 0,4 ), D ( b,0,$ ), E ( c,9,7 ) Etc.

Ejemplo de DETERMINADA:

--Sea un conjunto A (2,4,6,8,8,6,4,2,4,6,8,2) y queremos dividirlo por un conjunto B ( a, b, c,).
En este caso si se ve que se puede hacer una division DETERMINADA puesto que en el conjunto A podemos reagrupar sus elementos en subconjuntos de elementos identicos 3x (2,4,6,8) y divisibles por el numero cardinal del conjunto B ( 3 ) al haber en A tres subconjuntos de elementos identicos y en B tres elementos tambien.
Asi que podemos proceder a la division y tendriamos:

A (2,4,6,8,8,6,4,2,4,6,8,2) : B ( a, b, c,) = C ( a, 2,4,6,8), D ( b, 2,4,6,8), E ( c, 2,4,6,8).

No obstante en la division de conjuntos no tenemos como resultado siempre a conjuntos identicos pues los elementos del divisor puede que no sean iguales, es este anterior caso (a,b,c).

Exponenciales y raices

Exponenciales

La filosofia de esta teoria es la de respetar la integridad y peculiaridades de los conjuntos y sus elementos cuando operamos con ellos.
Por eso no siempre podemos aplicar todo el potencial operativo de las matematicas ya que en muchos casos destruiriamos la identidad de los propios conjuntos, teniendo ademas en cuenta que los conjuntos constan de elementos fisicos y que por lo tanto su campo de aplicacion es el de los numeros naturales.
Es mas, al integrarse estos conceptos naturales dentro de conjuntos bien definidos, pues su operatividad es aun mas limitada.
Y es el caso de los exponenciales y raices en los conjuntos.
Si por ejemplo tenemos un conjunto A formado por dos peras A (2 peras) parece claro que no podriamos proceder a una exponenciacion completa del conjunto A 2 ya que no podemos multiplicar peras por peras.
En este caso nos tenemos que conformar con exponenciar "a medias2 es decir, solo al factor numerico del conjunto (2) y dejar los caracteres de los elementos para aplicarlos como caracteres resultantes.
En este caso podriamos aceptar una exponencial similar a esta:

[ A (2 peras) ] 2 = B ( 2 2 peras ) = B ( 4 peras)

Como vemos se exponencial el factor numerico y se respeta la clase de elementos. Como ejemplo de conjunto exponencial podriamos poner:

[ A (3 coches, 4 motos, 2 remolques) ] 2 = B (3 2 coches, 4 2 motos, 2 2 remolques ) = B ( 9 coches, 16 motos, 4 remolques)

Raices

Las raices son aun mas dificiles de conseguir en los conjuntos, puesto que en logica se les exigira que todos y cada unos de los subconjuntos de identidad existentes tengan exactas la raiz requerida.
En este caso tendria raiz cuadrada el siguiente conjunto:

Raiz cuadrada de A (25 quesos, 16 jamones, 36 cervezas)

Porque la raiz cuadrada de cada uno de sus subconjuntos de identidad (quesos, jamones, cervezas) tiene exacta su raiz cuadrada. Por tanto seria:

Raíz 2 de A (25 quesos, 16 jamones, 36 cervezas) = B (5 quesos, 4 jamones, 6 cervezas).

Conjuntos de funciones multiples fm

Una posibilidad muy comun que puede darsenos es que tengamos un conjunto de elementos y subconjuntos al cual queramos someter a distintas operaciones segun el elemento o subconjunto de que se trate.
Para este caso se describen los conjuntos de funciones multiples que se pueden aplicar a otro conjunto cualquiera y aplicar diferentes operaciones a los distintos elementos y subconjuntos del mismo.
Asi un conjunto de funciones multiples es un conjunto fm en el cual se detallan las operaciones a que deseamos someter a los elementos o subconjuntos que deseemos del conjunto a que le se aplica.
Por supuesto, aquellos subconjuntos que deseemos permanezcan igual, pues con no incluirlos en el conjunto de funciones multiples es suficiente.
Como siempre, vemos un ejemplo para comprender todos estos detalles.
Sea un conjunto A consistente en un almacen de botellas de bebidas y que estaria compuesto por:

A (30cajas whisky, 150cajas cola, 12cajas vodka, 200cajas ron, 5cajas ginebra, 3600cajas cerveza, 76caja vino).

Pues bien, despues de varios meses de ventas hemos visto que tenemos que reestructurar el almacen y para ellos hemos hecho un estudio del cambio el cual hemos resumido en un conjunto fm de operaciones que vamos a aplicar ( # aplicar ) al conjunto A o almacen.
Este conjunto multiple de funciones a aplicar seria:

fm ( whishy + 30, cola -- 80, vodka x 6, ron / 4, ginebra 2 , cervezas -2); el vino esta correcto.

Por tanto la expresion total de la operacion seria:

A (30 whisky, 150 cola, 12 vodka, 200 ron, 5 ginebra, 3600 cerveza, 76 vino) # fm ( whishy + 30, cola -- 80, vodka x 6, ron / 4, ginebra 2 , cervezas -2 ) = B ( 60 whisky, 70 cola, 72 vodka, 50 ron, 25 ginebra, 60 cervezas, 76 vino)

Vemos aqui que la raiz cuadrada la ponemos como -2 (cervezas-2) pero se puede optar por cualquier sistemas de signos.

Conjuntos complejos Ac

Los conjuntos complejos en cuanto a su clase y determinacion de su sus elementos componentes seran aquellos en los que exista cierta dificultad para exponerlos y explicar su identidad con solo los signos convencionales, es decir, que necesita una mas amplia exposicion de sus peculiaridades que la que se puede hacer dentro de los parentesis en los que se exponen los elementos de un conjunto A cualquiera.
Por ejemplo:
Si tenemos un conjunto A compuesto por:
-- Manzanas vedes que pesen entre 100 y 120 gramos, de color rosado y sin semillas.
-- Tomates maduros, medianos, alargados y jugosos.
-- Pepinos amarillos, largos, grandes y sin semillas.
Pues seria un tanto dificultoso expresarlos adecuadamente dentro de los parentesis de ese conjunto A.
En este caso se podria exponer a A como a un conjunto de clase compleja (Ac) y datar a los distintos tipos de elementos con numeros o letras y operar con estos.
Despues aparte se detallarian la clase de cada tipo de elemento del conjunto.

Ac ( a, b, c, )

a .- Manzanas vedes que pesan entre 100 y 120 gramos, de color rosado y sin semillas.
b.- Tomates maduros, madianos, alargados y jugosos.
c.- Pimientos rojos, largos, grandes y con semillas.

Es similar procedimiento que se usa en algebra cuando sustituimos valores numericos por letras. En este caso, podriamos operar con ellos matematicamente y despues estudiar los elementos reales que lleva el conjunto.

Ac ( a, b, c, ) x 4 = Bc ( 4a, 4,b, 4c )

Caracteristicas de las operaciones de conjuntos.

Como hemos visto anteriormente en las operaciones de conjuntos, estas tienen cada una sus propias peculiaridades.
Por el momento, y hasta que estudiemos las diferentes propiedades de cada operacion, vamos a hacer una simple revision de sus diferencias operativas.

Suma.
En la suma podemos operar con conjuntos de elementos de distintos tipos. Asi podemos sumar un conjunto ( igual ) formado por 5 manzanas con un conjunto ( igual ) formado por 8 naranjas y obtendremos un conjunto ( homogeneo -- frutas ) formado por 13 frutas.

Resta
En la resto vemos que a un conjunto cualquier solo podemos restarlo parte de sus elementos, pero no restarle numeros ni otros elementos que no tienen.
Asi al conjunto de frutas anterior ( las trece frutas ) podemos restarle parte de ellas, por ejemplo, 4 manzanas y obtener distintos tipos de subconjuntos, que como en este caso nos queda un conjunto formado por 1 manzana y 8 naranjas.

Multiplicacion
Hemos visto que podemos multiplicar conjuntos por numero, pero no conjuntos entre si. Asi podemos multiplicar 6 zanahorias por el numero 4 y obtener un nuevo conjunto formado por 24 zanahorias.
Pero no podemos multiplicar las 6 zanahorias por 4 peras pues no obtenemos un producto real. Tampoco podemos multiplicar las 6 zanahorias por 0, ya que cero es considerado un conjunto vacio y al mismo tiempo parece logico que si tenemos 6 zanahorias que son reales, no podemos hacer que estas desaparezcan cuando las multiplicamos por 0.

Division.
La division tiene un espectro de operacion mas amplio y podemos dividir tanto conjuntos por numeros como conjuntos por conjuntos.
Asi, podemos dividir 60 euros por el numero seis, y tambien podemos dividir 60 euros entre seis personas.
Por tanto podemos dividir cualquier elementos entre otros igual o diferente. Esto no lleva incluso a poder dividir conjuntos vacios entre ellos mismos y entre otro tipo de conjuntos.

No obstante, debemos mantener la propiedad de la division que toma como referencia a la unidad (1).
De esta manera si dividimos 4 por 0'01 ( 4/0'01= 400) el resultado nos dira que es a la unidad (1) a quien corresponde 400, pero no a la fraccion 0'01.

*** Las operaciones con conjuntos vacios las vemos al final.

Composicion de Conjunto y Superconjuntos

Ya hemos visto en la definicion de tipos que en los conjuntos en relacion y conjuntos de fusion se manifestaba una ordenacion, cohesion y convergencia de los distintos elementos con lo cual se daba como resultado una estructura y composicion especial en cada uno de ellos segun fueran estas normas y formas de ordenamiento de sus elementos.
Tambien hemos visto como con esta ordenacion y definicion de los conjuntos se podia incluso datarlos con nombre propios de cuerpos fisicos o matematicos.

Por ejemplo, en los conjuntos en relacion podriamos tener: Caja de botellas; compania de soldados; representacion numerica de una suma, multiplicacion, etc.; palabras y frases escritas; postes de alumbrado de una calle; figuras colocadas en un tablero de ajedrez; etc.
Tambien en los conjuntos de fusion tales como: reloj, automovil, perro, arbol, edificio, etc.
Pues bien tanto en unos como en otros, y para ser construidos, sus elementos han tenido que sufrir un proceso de acoplamiento o composicion y una vez conseguido esta proceso de acoplamiento se ha conseguido un nuevo conjunto con sus caracteristica propios e incluso en la mayoria de sus casos con su nombre propio que engloba y define a este conjunto. Por tanto aqui vemos que cuando unimos elementos para conseguir un conjunto o cuando unidos conjuntos para formar superconjuntos, puede que con dicha union los conjuntos resultantes hayan adquirido nuevas propiedades y caracteristicas e incluso un nombre especifico como conjunto y por tanto identidad propia.
En tal caso, a esta este tipo de union con resultados especificos es a lo que llamaremos COMPOSICION, pues se entiende que, ademas de las propiedades de cada elemento o subconjunto, es el metodo y sistema de composicion lo que da a los nuevos conjuntos sus propias peculiaridades.
Pues bien debido a ello, otro factor importante que nace en estos procedimientos de acoplamiento y composicion es su propia calificacion y definicion o nombre como proceso de composicion.
Asi vemos en las composiciones que en muchos casos estos procedimientos tambien adquieren su propio verbo (nombre, etc.) descriptivo del procedimiento usado.
Asi si cogemos las piezas de un reloj y las unimos para conseguir el reloj ya terminado, diremos que hemos MONTADO el reloj; si es un edificio lo que hemos conseguido uniendo sus elementos diremos que hemos CONSTRUIDO un edificio; si hemos unido dos latas de pintura para formar un nuevo color, diremos que hemos MEZCALDO dos latas de pintura; si en la tierra, la naturaleza a traves de los tiempos une elementos quimicos, los transforma y desarrolla y consigue al final vegetales y animales, diremos que la nuestro planeta ha EVOLUCIONADO hacia la vida; etc.

Por tanto en los procesos de composicion de conjuntos distinguimos procesos y soluciones especificas para muchos de estos conjuntos resultantes y que serian principalmente:

---Nombre propio, comun o especifico ---de la composicion: Edificio, arbol, mar, etc.
---Nombre, verbo, etc., del procedimiento usado: Montaje, construccion, mezcla, combinacion, reaccion, evolucion, etc.

Vemos por tanto que el estudio matematico de los conjuntos se une, explica y se corresponde con muchos terminos lingüisticos y que por tanto las matematicas son tambien, y paralelamente, una explicacion y un lenguaje de expresion de la realidad fisica y natural de la cosas.

Conjuntos estaticos y conjuntos dinamicos.

Engarzando con las composiciones de conjuntos vamos a ver algun nuevo concepto de conjuntos que nos mostrara el paralelismo e igualdad entre los conjuntos matematicos y los conjuntos de cuerpos fisicos; entre las propiedades y comportamientos de unos y otros.
Si por ejemplo, y apoyandonos en la suma y composicion de conjuntos, tenemos tres conjuntos: Un conjunto A formado por cinco maceteros, un conjunto B formado por un moton de tierra apropiada y un conjunto C formado por varias semillas florales, y seguidamente procedemos a sumar y componer adecuadamente cinco macetas con sus correspondiente semillas ya SEMBRADAS (nombre de procedimiento), pues vemos que hemos resulto y conseguido una suma y composicion de un nuevo superconjunto formado por cinco macetas.
Ahora bien, esto podria considerarse un superconjunto ESTATICO resultante.
Pero si ahora dejamos pasar el tiempo y vamos observando dia tras dia el conjunto formado, pues podremos ver como no mucho tiempo despues de esta maceta comienza a salir los brotes de las flores que producen sus semillas.
En este momento comenzaremos a percatarnos de que el conjunto que parecia completamente estatico no lo es en realidad, y que con el tiempo y las particularidades de sus elementos, este conjunto se ha convertido en un conjunto DINAMICO, es decir, que cambia su identidad.
Asi pues, tendremos que serian:

DINAMICOS aquellos conjuntos que van cambiando sus propias caracteristicas, convergencia o identidad con el transcurso del tiempo.
Con ello y como decia antes, accedemos a las leyes y comportamiento fisico de los elementos mediante el estudio de los conjuntos fisicos y matematicos.
En proximas ampliaciones tambien revisaremos algun concepto relativo a estos conjuntos como puede ser la velocidad de transformacion de los conjuntos dinamicos.
Los ejemplos de conjuntos dinamicos, como podemos observar, son infinitos en la naturaleza:

--- Una partida de ajedrez donde las piezas cambian de posicion; se intercambian entre ellas; se van restando y desapareciendo del tablero, etc.
--- Una estanque con peces donde continuamente cambian su posición, e incluso pueden comerse unos a otros.
--- Una carrera de coches.
--- Un sol con sus planetas, cometas, etc. girando a su alrededor; con los satelites girando alrededor de lo planetas.
--- Un hormiguero donde cada hormiga se mueve y hace transformar al hormiguero.
--- Un almacen donde continuamente salen y entran mercancia.
--- Los procesos climaticos donde cada elemento se mueve, cambia y hace cambiar a los demas.
--- Los bosques donde nacen, crecen y mueren miles de arboles y animales.
Etc.
Es decir, los conjuntos fisicos tienen un potencial de cambio y transformacion enorme.
Podemos por tanto decir que la propia naturaleza en un enorme conjunto dinamico formado por otros muchos subconjuntos tambien dinamicos.

Conjuntos y Caos

Explicaba en mi modelo de Cosmos, que el caos podia tener dos consideraciones diferentes, el caos objetivo o real y el caos subjetivo de cada individuo o comunidad de individuos.
El caos objetivo seria aquel que estudia la interrelacion de elementos o conjuntos contemplado desde un punto de vista matematico o comparativo y el caos subjetivo seria aquel que tiene cada individuo o colectivo segun sus conocimientos y circunstancias personales.
Asi para un individuo que no supiera chino, un poema escrito en esta lengua pues le resultaria muy caotico e incomprensible. En cambio para un experto en este lenguaje el poema no tendria nada de caotico.
Sin embargo para un estudio lo mas imparcial posible, lo conveniente es llegar a principios de aceptacion del caos de un modo general y matematico que pueda ser aceptado por la mayoria de las personas. Y en este caso el caos se puede comprender o corresponder muy bien con el estudio de los conjuntos, sus peculiaridades y sus composiciones.
Asi si nos fijamos en los tipos de conjuntos, vemos que el caos se situaria cerca de los conjuntos difusos , es decir, de aquellos que no tienen casi ningun tipo de cohesion o relacion entre sus elementos.
Si al contrario, nos situamos a nivel de los conjuntos de fusion vemos que aqui apenas si existe al caos puesto que todos sus elementos se situan y guardan un orden y composicion muy definida.
Por otro lado vemos como en los conjuntos caoticos la magnitud del caos tambien tiene una relacion directa con los movimientos de los elementos que componen estos conjuntos.
Se observamos las abejas de un panal cuando hace mucho frio, vemos que estas apenas si se mueven, y en este caso su comportamiento nos parece poco caotico.
No obstante cuando se calientan con el sol, comienzan a moverse y rapidamente y todo se convierte en un autentico caos para nuestro punto de vista.
Asi que podemos comprobar que el potencial dinamico o de movimiento y cambio de un conjunto es directamente proporcional a su potencial caotico. Mas movimiento, mas caos.
Al mismo tiempo recordamos que el indice de convergencia de los elementos de un conjunto es tambien un parametro de medida y apreciacion de su potencial caotico.
Luego podemos decir que:

"El indice de convergencia es inversamente proporcional al potencial caotico de un conjunto, mientras que su potencial dinamico (o de movimiento de sus elementos) es directamente proporcional a este potencial caotico del conjunto."

Por tanto, el caos, su consideracion y definicion esta estrechamente relacionada con la consideracion y definicion de los tipos de conjuntos.
Podriamos decir que usan parametros y soluciones paralelas.

ALGUNAS DIFERENCIAS CON LA ACTUAL TEORIA DE CONJUNTOS

INTERSECCIONES Y NUMERO ILIMITADO DE ELEMENTOS IGUALES

Como dije al principio, estimo que mi teoria es complementaria y no tiene por que intentar sustituir a la actual teoria de conjuntos.
Sin embargo hay algunos puntos que estimo son contradictorios y que quizas en este caso sean mas interesantes mis puntos de vista que el de la teoria actual.
Me estoy refiriendo a la consideracion y aceptacion de infinitos elementos iguales que se hace en mi teoria a diferencia de la consideracion de elementos unicos de cada especie como se hace en la actual.
La actual teoria y la consideracion de elementos unicos tienen una consistencia mas bien teorica y propia para habitar casi exclusivamente en el pensamiento de los matematicos, pero su consistencia se derrumba cuando tratamos de llevarla a la realidad fisica de los elementos.
Ademas su ambito es muy estrecho pues se dedica casi exclusivamente a teorizar sobre familias, agrupaciones, etc. de elementos, pero no avanza en el sentido de la interrelacion, evolucion, transformacion, etc. que los elementos fisicos reales si tienen.
Como ejemplos simples de lo incongruente que puede ser esta teoria cuando la llevamos al ambito fisico de los elementos, pues vamos un ejemplo simple.
Despues veremos el metodo de interseccion segun mi teoria de conjuntos.
En el dibujo siguiente se ve un ejemplo de igualdad y union de conjuntos en la teoria actual, con la cual se pueden ver las discrepancias con mi teoria:

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En este dibujo anterior se ven dos grupos A y B formados cada uno por cuatro botellines de cerveza o cola.
Segun la teoria actual ( en 1 ) al ser los cuatro botellines iguales, pues el conjunto A de cuatro botellines puede ser igual al mismo conjunto A con un botellin.
Esto ocurre por no considerar la realidad fisica de los elementos sino su simple apariencia.
En ( 2 ) la union de A y B nos daria otro grupo AuB formado tambien por cuatro botellines, por la misma razon, es decir, por confundir realidad fisica con apariencia fisica. Si parecen iguales, es que es el mismo.

En mi teoria no importan las apariencias, importa la fisica de los elementos.
Si hay cuatro elementos en un grupo y cuatro en otro, aunque parezcan o sean iguales son otros elementos fisicos.

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En el dibujo anterior se ve que un conjunto A con cuatro botellines no puede ser igual al mismo conjunto A con un botellin.
Ahora bien (en 1) se puede representar matematicamente el conjunto con un numero que representa la cantidad de elementos iguales que hay en el conjunto y despues la especificacion de que clase de elementos son. A (4 botellines).
Pero no es una representacion real, sino un representacion o ajuste matematico de los elementos que tienen el conjunto A con objeto de poder someterlo a distintas operaciones matematicas mas facilmente.
Despues en (2 ) vemos una suma de los conjuntos A ( 4 botellines ) + B ( 4 botellines) que nos dara un resultado A + B ( 8 botellines) que es la suma real de los elementos de A y de B.

Intersecciones

En cuanto a las intersecciones entre conjuntos, tambien hay que tener en cuenta su realidad fisica y no su apariencia.
Como no es la apariencia lo que importa, pues para distinguir la exposicion de cada elemento pues debemos de apuntar los que son representacion repetida porque ya estan en otro conjunto, con objeto de no confundirlos y operar nuevamente con ellos.
Ello se muestra en el dibujo siguiente:

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En el dibujo anterior, vemos que puede haber elementos repetidos (rectangulo, triangulo, 5, etc.), pero que por esa razon y para no confundir los elementos de interseccion de los propios de cada conjunto, debemos exponer los elementos de interseccion.
Para efectuar la suma de todos los elementos, se ha de tener en cuenta de que en el superconjunto resultante están todos los elementos componentes de los conjuntos que se suman.
En el dibujo anterior, exponemos los elementos de interseccion para sumarlos solo una vez cada uno.
En el resultado vemos que existen elementos repetidos (rectangulo, triangulo, etc.), porque aunque su parecido era total, sin embargo realmente habia mas de un rectangulo, triangulo, etc. en los conjuntos a sumar.

Ahora bien, la base y manera de ajustar y expresar los elementos de interseccion entre conjuntos es la misma que en la teoria actual, como se ve en el dibujo inferior. Asi como los signos y formulas de expresion.
Lo unico que puede variar en algun caso es cuando pueda haber repeticion de elementos semejantes que haya que incluirlos todos y no eliminar los aparentes como en la teoria actual.
Asi que en el dibujo de abajo ve como los elementos de interseccion y su forma de expresarlos es lo mismo en general.

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Operaciones con conjuntos vacios.

El conjunto vacio es un conjunto sin elementos que puede ser representado por el cero ( 0 ), pero sigue siendo un conjunto y por tanto puede ser sometidos a operaciones de conjuntos.

Por tanto podemos decir que el cero ( 0 ) es el conjunto vacio por excelencia.

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Cuando operamos con conjuntos vacios normalmente nos fijamos solo y exclusivamente en el resultado de sus elementos componentes, que al no tener pues datamos como cero.
Pero nos olvidamos de algo esencial, y es del numero de conjuntos vacios con los cuales estamos operando.
Si como en el dibujo tomamos un vaso vacio y los multiplicamos por 3, el resultado real sera que tenemos 3 vasos vacios, pero el resultado parcial sera que por estar vacios pues el total numero de sus elementos es cero.
Asi que en este caso ajustamos y damos un resultado SOLOS DE SUS ELEMENTOS, pero nos olvidamos que ESTAMOS USANDO UNA SERIE DE CONJUNTOS.
Pues bien esto es de primera importancia pues este metodo de operacion lo usamos despues como una propiedad y justificacion de la operacion que estamos haciendo.
Y claro, al tomar como principio y explicacion a un resultado parcial y no al resultado total de la operacion, pues terminamos por aceptar principios de indeterminacion que no existen.
Por ejemplo, si ponemos que 1x0 = 4x0 estamos aceptando que ambos terminos son identicos, cuando no lo son, pues en el primero hay solo un conjunto vacio y el segundo hay cuatro conjuntos vacios, aunque el numero de elementos componentes sea igual en ambos termino de la igualdad.
Pues bien, cuando operamos de este modo (3x0 = 0) debemos de convenir en que estamos operando PARCIALMENTE y solo con relacion a los elementos de los conjuntos vacios que estamos usando.
Del mismo modo debemos aceptar que dicha operacion es PARCIALMENTE INDETERMINADA, puesto que tres conjuntos vacios no puede ser lo mismo que un conjunto vacio.
Y por esta misma razon no podemos usar este tipo de postulados para concluir que 0/0 sea una operacion indeterminada, puesto que su solucion es 0/0=1 ateniendonos a las propiedades de la division.

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Conjuntos indefinidos.

Los conjuntos indefinidos pueden considerarse como una forma de los conjuntos complejos en el cual A(X) representa a un conjunto complejo no definido o no conocido de antemano.

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Asi A(X) es un conjunto del cual no conocemos sus elementos o no estan bien definidos, pero que queremos operar con el.
En este caso consideramos en principio a este conjunto A(X) como a un conjunto unitario o sea de un solo elementos desconocido, pero que una vez resultas las operaciones a las que le sometemos, pues podemos descubrir la realidad de este conjunto A(X) y proceder a su resolucion final.
Este tipo de operaciones de conjuntos nos sirve para operar con todo tipo de elementos, que como en el ejemplo del dibujo pueden ser el cero, el infinito, un cuadrado, un grupo de animales, etc.
Por tanto aqui procedemos primero a realizar las operaciones y despues a conocer el contenido del conjunto para aplicarle la resultante de las operaciones realizadas.

Simbolo del conjunto, subconjuntos y elementos del Cosmos.

Como entiendo que el conjunto total de elementos del Cosmos no tienen un simbolo determinado, ni tampoco los elementos indefinidos de antemano que pueden pertenecer a este conjunto general de elementos cosmicos, pues propongo el simbolo IUS para el conjunto de elementos cosmicos, con algunas diferencias para sub-conjuntos y elementos, que como he dicho pueden en principio ser indeterminados.

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Operaciones

Como podemos ver, los conjuntos o elementos ius ( U| , U, U ) los podemos someter a cualquier operacion como a cualquier otro conjunto.
Pero ademas, tendremos en cuanta que dichos conjuntos y elementos pueden ser desconocidos o no.
Asi podemos tener un elemento conocido U que puede ser un lapiz, o ser un elemento desconocido de antemano que tambien puede ser un lapiz u otro elemento.
En cualquier caso podemos operar con ellos, y despues ya veremos si podemos averiguar con que clase de elementos estamos operando.
Ello lo podemos ver en el ejemplo del dibujo:
3 x U = 3U donde U puede ser un elemento conocido o desconocido.

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Ejemplo de multiplicacion de conjuntos "IUS" U

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El producto de un numero N por un conjunto de elementos "ius" U da como resultado a otro conjunto U' que contienen N veces a cada uno de los elementos del conjunto multiplicando U.

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